Родился 20 апреля 1903 года в селе Красном Новохопёрского района Воронежской области. В РККА с июня 1919 года, воевал против войск генерала А.И. Деникина, в августе демобилизован. В 1924 году окончил Объединённую военную школу им. ВЦИК «Кремлёвка» в Москве, в январе 1937 года Академические курсы тактическо-технического усовершенствования при Военной академии моторизации и механизации РККА им. И.В. Сталина.

 
После ее окончания проходил службу в качестве политрука учебного танкового полка в Московском военном округе, командира танковой роты, батальона, начальника штаба танкового батальона в Отдельной Дальневосточной Краснознаменной армии. В 1941 году окончил курсы усовершенствования высшего начсостава (КУВНАС) при Военной академии РККА им. М.В. Фрунзе. В апреле 1941 года назначен начальником АБТО 2-й Отдельной Краснознамённой армии Дальневосточного фронта.

 
Начало Великой Отечественной войны 1941–1945 гг. встретил в занимаемой должности. С сентября 1941 г. начальник АБТУ Дальневосточного фронта. С 26 января 1942 г. — заместитель командующего Дальневосточным фронтом по танковым войскам. С января 1943 г. — командир 32-й танковой бригады, находившейся в резерве Ставки ВГК (Кубинка). К 12 марта 1943 года бригада сосредоточилась в районе хутора Нижне-Митякино Воронежской области, где вошла в состав 29-го танкового корпуса (Степной ВО).

 
С 9 июля воевала на Воронежском фронте, участвовала в Курской битве. В тяжёлых боях в районе совхоза «Октябрьский» в 3 км западнее г. Прохоровка 12 июля бригада нанесла большой урон противнику. 17 июля полковник А.А. Линёв на участке обороны своей бригады построил макеты танков и тем самым скрыл действительное положение частей. Враг обрушил весь огонь артиллерии на макеты. С переходом противника в наступление 32-я танковая бригада внезапным ударом танками и мотопехотой с фланга опрокинула его, нанеся большой урон в живой силе и технике.

 
26 августа 1943 года полковник А.А. Линёв погиб в бою при освобождении Украины. Похоронен в г. Золочев. Награждён Орденом Отечественной войны I степени посмертно, медалью «XX лет РККА».